[OTserver/Site] Do que preciso.

(1) Qual é melhor: Dedicado ou VPS?

Dedicado é muito melhor em relação a HARDWERE, porem como é apenas um servidor de tibia não exige isso tudo, alem de ser muito caro.
VPS tem mais custo-beneficio, recomendo windows pela praticidade, acima de 2gb de ram  já roda um serv + site na msm vps...

(2) Qual a melhor empresa para contratar o serviço?

Tem que da uma pesquisada, aconselho a weblara, mais exitem muitas outras por ai.

Em relação ao site minha dúvida é:

(1) Como crio um nome domínio para um site Gesior?

Existem diversos sites que fornecem dominio, inclusive gratis, o mais popular é o FREENOM.

Você pode usar sites + famosos como GODADY ou HOSTGATOR.
Para usar um dominio em uma vps basta voce escolher a opção DNS na hora da contratação e colocar o IP do servidor (VPS).

(2) Como consigo deixar o site online 24 horas?

Apenas instale o seu site no xampp, vertriga, wampp ou programas similares, ligar e deixar que irá ficar on...